Jacobijeva matrica

Jacobijeva matrica (engl. Jacobi matrix; njem. Jacobische Matrize; rus. матрица Якоби), matrica definirana za zadanu diferencijabilnu funkciju f = (f₁, ..., fn) : Ω → Ω', gdje su Ω i Ω' otvoreni skupovi u Rⁿ, u odabranoj točki x ∈ Ω:

\[f'(x)=\frac{\partial(f_1,\dots,f_n)}{\partial(x_1,\dots,x_n)}=\left[\matrix{\frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\cr\vdots&&\vdots\cr\frac{\partial f_n}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_n}{\partial x_n}}\right].\]

Njezina determinanta J_f(x) = det f '(x) naziva se Jacobijanom od f, koji je važan u integralnoj formuli za zamjenu varijabla: ako su f : Ω → Ω' i njezin inverz f-^–1 neprekinuto diferencijabilne bijekcije (takva se funkcija f naziva C¹ difeomorfizmom), te ako je g : Ω' → R zadana Lebesgueova integrabilna funkcija, onda je:

\[\int_{\Omega'}g(y)\cdot{\rm d}y=\int_\Omega g(f(x))-|J_f(x)|\cdot{\rm d}x.\]

Ako je Jacobijeva matrica f'(x₀) regularna, onda je f bijekcija s nekoga okoliša od x₀ na sliku (teorem o inverznoj fukciji). Nazvana po C. G. J. Jacobiju.