Besselove funkcije

Besselove funkcije (engl. Bessel functions; njem. Besselsche Funktionen; rus. Бесселя функции; znak J), rješenja Besselove diferencijalne jednadžbe x^2 y" + x · y' + (x² – n²) y = 0. Besselovu funkciju n-toga reda prve vrste moguće je izraziti preko razvoja u red kao:

\[J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x/2)^{n+2k}}{k!\,\Gamma(n+k+1)}.\]

Drugo je (linearno neovisno) rješenje te diferencijalne jednadžbe Besselova funkcija druge vrste, definirana jednadžbom:

\[Y_n(x)=\lim_{m\to n}\frac{J_m(x){{\rm cos}m\pi}-J_{-m}(x)}{{\rm sin}m\pi}.\]

Besselova diferencijalna jednadžba pojavljuje se pri rješavanju problema u elektromagnetizmu (raspodjela elektromagnetskoga polja u valjkastim valovodima i rezonatorima, svjetlovodima, mikrotrakastim antenama i dr.), gdje granice između područja u cilindričnom koordinantnom sustavu leže na plohama stalnoga polumjera r, stalne z-koordinate ili stalne φ-koordinate. Separacijom varijabla moguće je prikazati Laplaceov diferencijalni operator Δ kao umnožak triju diferencijanih jednadžba, ovisnih samo o jednoj od koordinata r, φ i z. Jednadžba po koordinati r upravo je Besselova diferencijalna jednadžba. Primjenjuju se i pri rješavanju problema kad se sinusna funkcija nalazi u argumentu druge sinusne funkcije. Tako, npr., spektar frekvencijski ili fazno moduliranoga signala upravo slijedi takav razvoj po Besselovim funkcijama. Nazvane po F. W. Besselu.