Jacobijeva matrica

Jacobijeva matrica (engl. Jacobi matrix; njem. Jacobische Matrize; rus. матрица Якоби), matrica definirana za zadanu diferencijabilnu funkciju f = (f₁, ..., fn) : Ω → Ω', gdje su Ω i Ω' otvoreni skupovi u Rⁿ, u odabranoj točki x ∈ Ω:

$$f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{\partial }(f_1,\dots ,f_n)}{\mathrm{\partial }(x_1,\dots ,x_n)}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{\partial }{f}_1}{\mathrm{\partial }{x}_1}& \cdots & \frac{\mathrm{\partial }{f}_1}{\mathrm{\partial }{x}_n}\\ ⋮& & ⋮\\ \frac{\mathrm{\partial }{f}_n}{\mathrm{\partial }{x}_1}& \cdots & \frac{\mathrm{\partial }{f}_n}{\mathrm{\partial }{x}_n}\end{array}\right].$$

Njezina determinanta J_f(x) = det f '(x) naziva se Jacobijanom od f, koji je važan u integralnoj formuli za zamjenu varijabla: ako su f : Ω → Ω' i njezin inverz f-^–1 neprekinuto diferencijabilne bijekcije (takva se funkcija f naziva C¹ difeomorfizmom), te ako je g : Ω' → R zadana Lebesgueova integrabilna funkcija, onda je:

$${\int }_{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}g(y)\cdot \mathrm{d}y={\int }_{\mathrm{\Omega }}g(f(x))-|J_f(x)|\cdot \mathrm{d}x.$$

Ako je Jacobijeva matrica f'(x₀) regularna, onda je f bijekcija s nekoga okoliša od x₀ na sliku (teorem o inverznoj fukciji). Nazvana po C. G. J. Jacobiju.