Laplaceova jednadžba

Laplaceova jednadžba (engl. Laplace equation; njem. Laplacegleichung; rus. уравнение Лапласа), parcijalna diferencijalna jednadžba ∆u = 0, gdje je u Ω → R nepoznata dvaput diferencijabilna funkcija i Ω otvoren podskup od Rⁿ . Pritom je ∆ Laplaceov operator primjenjen na u:

\[\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2u}{\partial x_2^2}+\cdots+\frac{\partial^2u}{\partial x_n^2}.\]

Za n = 2 Laplaceova jednadžba glasi:

\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0,\]

a za n = 3:

\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0.\]

Njezina su rješenja harmonijske funkcije. Pojavljuje se u mnogim fizikalnim primjenama: kao potencijal gravitacijskoga polja, magnetskoga ili elektrostatičnoga polja, polja brzina bezvrtložnog toka u dinamici fluida, kao ravnotežno stanje u razdiobi temperature sa zadanom temperaturom na rubu područja itd. Poseban je slučaj → Poissonove jednadžbe, gdje je f(x) zadana funkcija na Ω. Nazvana po P. S. de Laplaceu.