Laplaceova jednadžba

Laplaceova jednadžba (engl. Laplace equation; njem. Laplacegleichung; rus. уравнение Лапласа), parcijalna diferencijalna jednadžba ∆u = 0, gdje je u Ω → R nepoznata dvaput diferencijabilna funkcija i Ω otvoren podskup od Rⁿ . Pritom je ∆ Laplaceov operator primjenjen na u:

$$\mathrm{\Delta }u=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}_1^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}_2^2}+\cdots +\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}_n^2}.$$

Za n = 2 Laplaceova jednadžba glasi:

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}=0,$$

a za n = 3:

$$\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{z}^2}=0.$$

Njezina su rješenja harmonijske funkcije. Pojavljuje se u mnogim fizikalnim primjenama: kao potencijal gravitacijskoga polja, magnetskoga ili elektrostatičnoga polja, polja brzina bezvrtložnog toka u dinamici fluida, kao ravnotežno stanje u razdiobi temperature sa zadanom temperaturom na rubu područja itd. Poseban je slučaj → Poissonove jednadžbe, gdje je f(x) zadana funkcija na Ω. Nazvana po P. S. de Laplaceu.