derivacija

derivacija (engl. derivation; njem. Derivation; rus. производная, деривация; znak f '), omjer diferencijala primitivne funkcije i diferencijala neovisne varijable. Određena je graničnom vrijednošću izraza:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Ako postoji, onda je geometrijsko značenje derivacije koeficijent smjera tangente na krivulju f (x). U fizici je, npr., derivacija prijeđenoga puta u vremenu trenutačna → brzina gibanja. Operacija deriviranja označuje se:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x},$$

pa se derivacija može prikazati kao omjer → diferencijala:

$$y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}.$$

Deriviranjem nastaje nova funkcija koja se, ako je derivabilna, može ponovno derivirati, pa nastaje druga derivacija:

$$y^{″}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2},itd.$$

U fizici je druga derivacija prijeđenoga puta po vremenu ubrzanje:

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}=a.$$

Parcijalne se derivacije mogu oblikovati od funkcija s više varijabla, s obzirom na svaku pojedinu neovisnu varijablu. Tako su, npr. koordinate gradijenta polja u Kartezijevu sustavu:

$$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}U=\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }x}ii+\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }y}jj+\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }z}kk.$$