brojevni sustav, položajni

brojevni sustav, položajni (engl. positional number system; njem. Positionszahlensystem; rus. позиционная числовая система), brojevni sustav u kojem je vrijednost broja prikazana ograničenim brojem znamenaka (brojaka) i njihovim položajem u shemi zapisa broja. Najviše upotrebljavan položajni brojevni sustav jest desetični ili dekadni sustav. U njemu se kao znamenke upotrebljava deset brojaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a položajna je vrijednost određena tzv. težinskim faktorima koji su potencije od deset, tj. 1, 10, 100, 1000 itd. Zbog toga je broj deset osnova dekadnoga brojevnoga sustava. Zapisuju se tako da položajna vrijednost raste zdesna ulijevo. Ako je di opći znak znamenke, onda se prirodni broj s n znamenaka može zapisati kao niz dn_–1, dn_–2, … d₂, d₁, d₀, pa je vrijednost toga broja prikazana kao dn_–1 × 10^n–1 + dn_–2 × 10^n–2 + … +d₂ × 10² + = d₁ × 10¹ + d₀ × 10⁰. Pri obavljanju aritmetičkih operacija s višeznamenkastim brojevima postupak se razlaže na mnogo jednostavnije operacije s jednoznamenkastim brojevima. Po uzoru na dekadni sustav može se zamisliti sustav s bilo kojom osnovom B i znamenkama 0, 1, 2, …, B–1. Broj s n znamenaka može se napisati kao niz zn_–1 zn_–2 … z₂ z₁ z₀, gdje su zi znamenke toga broja, a njegova je vrijednost zn_–1 × Bn^–1 + zn_–2 × Bn^–2 +…+ z₂ × B² + z₁ × B¹ + z₀ × B⁰. Najjednostavniji je binarni sustav s osnovom B = 2 i znamenkama 0 i 1. Broj zapisan kao niz binarnih znamenaka, tj. → bitova bn_–1, bn_–2, … b₂, b₁, b₀ ima vrijednost bn_–1 × 2n^–1 + bn_–2 × 2n^–2 + … + b₂ × 2² + b₁ ×2¹ + b₀ × 2⁰. Tako se mogu zapisivati svi prirodni brojevi i broj nula, pa se zapis naziva prirodnim binarnim → kodom. S n bitova mogu se zapisati prirodni brojevi od 0 do 2ⁿ – 1. Tako se četirima bitovima mogu zapisati brojevi u rasponu 0 do 15, s osam bitova brojevi 0 do 255, itd. U računalnim se sustavima zbog mogućnosti jednostavnoga i pouzdanoga razlučivanja dvaju stanja u digitalnim elektroničkim sklopovima rabi binarni prikaz brojeva. Ostali oblici brojeva, kao što su cijeli brojevi i realni brojevi, kodiraju se u računalima na normirani način (→ broj). Za realne brojeve može se načiniti samo približan način zapisivanja u obliku → brojeva s pomičnim zarezom. Za kraće zapisivanje dugačkih nizova bitova, praktično je skupine od po četiri bita kodirati jednim znakom, te tako skratiti zapis četiri puta. Ako se skupine od po četiri bita čitaju kao prirodni broj, ti znakovi imaju vrijednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 i 15. Za prvih deset vrijednosti mogu se kodirati znamenkama kao u dekadnom sustavu, a za preostalih šest za znamenke se rabe slova A, B, C, D, E i F. Tako nastaje zapis prirodnoga broja u tzv. heksadekadnom brojevnom sustavu s osnovom B = 16. → brojevni sustav, nepoložajni